Міністерство освіти та науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
ПРЯМІ ТА ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРИЧНИХ РІВНЯНЬ
Інструкція до лабораторної роботи № 2
з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування”
для студентів базового напрямку 6.0914
“Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління”
та базового напрямку 050201 “Системна інженерія”
Затверджено
на засiданнi кафедри
“Комп’ютеризовані
системи автоматики»
Протокол № 2 від 03.10.2007
Львів 2007
Прямі та ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь: Інструкція до лабораторної роботи № 2 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інженерія” / Укл.: У.Ю. Дзелендзяк, А.Г. Павельчак, В.В. Самотий – Львів: НУЛП, 2007.- 36 с.
Укладачі: У.Ю. Дзелендзяк, к.т.н., доцент
А.Г. Павельчак, асистент
В.В. Самотий, д.т.н., професор
Відповідальний за випуск:
А.Й. Наконечний, д.т.н., професор
Рецензент: З.Р. Мичуда, д.т.н., професор
Мета роботи: вивчити найпоширеніші прямі та ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь та способи їх застосування для обчислення визначників і обертання матриць.
1. Загальна характеристика методів
розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь
До числових методів лінійної алгебри відносяться числові методи розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь, обертання матриць, обчислення визначників та знаходження власних чисел і власних векторів матриць. У цій лабораторній роботі ми детально розглянемо першу задачу та побічно вирішимо другу та третю.
1.1. Системи лінійних рівнянь.
Лінійні системи в обчисленнях відіграють дуже значну роль, оскільки до них може бути приведений наближений розв’язок широкого кола задач. Основними джерелами виникнення систем лінійних алгебричних рівнянь є теорія електричних кіл, рівняння балансів та збереження у механіці, гідравліці тощо.
Система n лінійних рівнянь з n невідомими може бути представлена у такому вигляді:
, (1.1)
або у матричній формі
, (1.2)
де – матриця коефіцієнтів системи (1.1), – вектор невідомих, – вектор вільних членів, які, відповідно, приймають такі значення
, , .
У числових алгоритмах вираз (1.2) переважно записують так
, . (1.3)
Відомо, що якщо визначник матриці рівний нулю, тобто , то система лінійних рівнянь або не має розв’язку, або має їх безмежну кількість. Якщо ж , тоді система має розв’язок, та до того ж єдиний. У подальшому ми будемо розглядати лише останній випадок.
Всі ці випадки є добре геометрично проілюстровані на системі двох рівнянь (рис.1). Кожному рівнянню відповідає пряма у площині x, y, а крапка перетину цих прямих є розв’язком системи. Якщо , то нахили прямих рівні, і вони або паралельні, або співпадають. У іншому випадку прямі мають єдину крапку перетину.
1.2. Види матриць.
Ефективність обчислень у лінійній алгебрі часто залежить від вміння використовувати спеціальну структуру та властивості задіяних матриць.
а) Матриці, більшість елементів яких нулі, називають розрідженими. Одне із визначень розрідженої матриці таке: матриця розміром вважається розрідженою, якщо число її ненульових елементів . Наприклад, при та число ненульових елементів 31622 (загальне число елементів ). Розрідженість матриць є цінною властивістю, оскільки об’єм інформації, який необхідно обробляти та зберігати в пам’яті обчислювальної машини, для таких матриць навіть дуже значного розміру може виявитися не надто великим. Одним із основних джерел розріджених матриць є математичні моделі технічних пристроїв, що складаються із великої кількості елементів з локальними зв’язками. Найпростіший приклад – великі електричні кола. Інше важливе джерело розрідженості – метод кінцевих різниць та метод кінцевих елементів, що використовуються для розв’язування рів...
